Đề thi học sinh giỏi Toán

1. Chuyªn ®Ị : §a thøc
Bài 1: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
4 3 2
17 17 17 20x x x x− + − +
tại x = 16.
b. B =
5 4 3 2
15 16 29 13x x x x x− + − +
tại x = 14.
c. C =
14 13 12 11 2
10 10 10 10 10 10x x x x x x− + − + + − +
tại x = 9
d. D =
15 14 13 12 2
8 8 8 8 8 5x x x x x x− + − + − + −
tại x = 7.
Bài 2: Tính giá trò của biểu thức:
a. M =
1 1 1 650 4 4
2 . .3
315 651 105 651 315.651 105
− − +
b. N =
1 3 546 1 4
2 . .
547 211 547 211 547.211
− −
Bài 3: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
( ) ( )
3 2 2 2 3 3
x x y y x y− + −
với x = 2;
1y =
.
b. M.N với
2x =
.Biết rằng:M =
2
2 3 5x x− + +
; N =
2
3x x− +
.
Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5:
a.
( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + − − +
b.
( )
2
2 75x y y x+ − +
Bài 5: Tính giá trò của đa thức:

( ) ( )
2
1 1x y y xy x y+ − − −
biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + −
; biết rằng 2x
= a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + − = −
; biết rằng a + b + c = 2p
Bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab –
2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số
1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )
M a a b a c= + +
;
( ) ( )
N b b c b a= + +
;
( ) ( )
P c c a c b= + +
Bài 9: Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − +
.
Tính M theo a, b, c, biết rằng
1 1 1
2 2 2
x a b c= + +
.
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh
rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13.
Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
1
b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia
hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Bài 12: Chứng minh rằng:
a.
7 9 13
81 27 9− −
chia hết cho 405.
b.
2 1 2
12 11
n n+ +
+
chia hết cho 133.
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,
( )
1
2
n n +
, …
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là
số chính phương.
2. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn
I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n
1. (a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a a )+ + + =
=
−
+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a )
;
2. (a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
= a
3
± b
3
± 3ab(a ± b);
(a ± b)
4
= a
4
± 4a
3
b + 6a
2
b
2
± 4ab
3
+ b
4
;
3. a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) ;
a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
– b
n
= (a – b)(a
n – 1
+ a
n – 2
b + a
n – 3
b
2
+ … + ab
n – 2
+ b
n – 1
) ;
4. a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
)
a
5
+ b
5
= (a + b)(a
4
– a
3
b + a
2
b
2
– ab
3
+ b
5
) ;
a
2k + 1
+ b
2k + 1
= (a + b)(a
2k
– a
2k – 1
b + a
2k – 2
b
2
– … + a
2
b
2k – 2
– ab
2k – 1
+ b
2k
) ;
II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b)
n
– Tam gi¸c Pascal
§Ønh 1
Dßng 1 (n = 1) 1 1
Dßng 2 (n = 2) 1 2 1
Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®ỵc thµnh lËp
tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1,
3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triĨn (x + y)
n
thµnh tỉng th× c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè trong dßng thø n cđa b¶ng
trªn. Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®ỵc sư dơng khi n
kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× :
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
vµ víi n = 5 th× :
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 10ab
4
+ b
5
2
II. C¸c vÝ dơ
VÝ dơ 1. §¬n gi¶n biĨu thøc sau :
A = (x + y + z)
3
– (x + y – z)
3
– (y + z – x)
3
– (z + x – y)
3
.
Lêi gi¶i
A = [(x + y) + z]
3
– [(x + y) – z]
3
– [z – (x – y)]
3
– [z + (x – y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2
+ z
3
] – [(x + y)
3
– 3(x + y)
2
z + 3(x +
y)z
2
– z
3
] – [z
3
– 3z
2
(x – y) + 3z(x – y)
2
– (x – y)
3
] – [z
3
+ 3z
2
(x – y)
+ 3z(x – y)
2
+ (x – y)
3
] = 6(x + y)
2
z – 6z(x – y)
2
= 24xyz
VÝ dơ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lêi gi¶i
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy = a
2
– 2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y) = a
3
– 3ab
c) x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
– 2x
2
y
2
= (a
2
– 2b)
2
– 2b
2
= a
4
– 4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
= (x
5
+ y
5
) + x
2
y
2
(x + y)
Hay : (a
2
– 2b)(a
3
– 3ab) = (x
5
+ y
5
) + ab
2
⇒ x
5
+ y
5
= a
5
– 5a
3
b + 5ab
2
Chó ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) a–
3
b
3
(a + b)
= (a
2
+ b
2
)(a
5
+ b
5
) a–
2
b
2
(a
3
+ b
3
)
VÝ dơ 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc :
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca) ;
b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
+ c
3
– 3abc – 3a
2
b – 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)
b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
= [(a + b + c)
3
– a
3
] – (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] – (b + c)(b
2
– bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
VÝ dơ 4. Cho x + y + z = 0.
Chøng minh r»ng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Lêi gi¶i
V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)
3
= –z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = –z
3
⇒ 3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do ®ã : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2
)
Mµ x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy = z
2
– 2xy (v× x + y = –z). T¬ng tù :
y
2
+ z
2
= x
2
– 2yz ; z
2
+ x
2
= y
2
– 2zx.
V× vËy : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
– 2yz) + y
3
(y
2
– 2zx) +
z
3
(z
3
– 2xy) = 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) – 2xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Suy ra : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (®pcm)
3
Bµi tËp:
1. Cho a + b + c = 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc :
B = (x – 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
– b
2
= 4c
2
. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) =
(3a – 5b)
2
.
4. Chøng minh r»ng nÕu:
5. (x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= (x + y – 2z)
2
+ (y + z – 2x)
2
+ (z + x
– 2y)
2

th× x = y = z.
6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
vµ x, y kh¸c 0 th×
a b
x y
=
.
b) Chøng minh r»ng nÕu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2

vµ x, y, z kh¸c 0 th×
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) ;
c) 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2
.
9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c + d)
2
.
Chøng minh r»ng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1.
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai sè a, b lÇn lỵt tháa m·n c¸c hƯ thøc sau :
a
3
– 3a
2
+ 5a – 17 = 0 vµ b
3
– 3b
2
+ 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b.
12. Cho a
3
– 3ab
2
= 19 vµ b
3
– 3a
2
b = 98. H·y tÝnh : E = a
2
+ b
2
.
13. Cho x + y = a + b vµ x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
4
3. Chuyªn ®Ị:
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c:
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
− − − −
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
(§a thøc ®· cho cã nhiƯm nguyªn hc nghiƯm h÷u tØ)
II- Ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tư
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hiƯu
cđa hai b×nh ph¬ng: A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
5
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− −
2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
− + −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ − − − +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xt hiƯn thõa sè chung
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
III- Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
Ph¬ng ph¸p: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cđa ®a thøc, råi
g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cơ thĨ ®Ĩ x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
Gi¶i
a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y− + − =
Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®ỉi(ta nãi ®a
thøc P cã thĨ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®· chóa
thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã
bËc 3 ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã
bËc ba ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc
6
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + + −
+ + + + + + + + + −
+ + + + − + + + + +
−
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
− + + − − + + + +
− + − + − + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + − +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
− + − + −
+ − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
− + − + − = − − −
®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n
x = 2, y = 1, z = 0
ta ®ỵc k = -1
VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= − + − + − −
, víi 2m = a+ b + c.
B i 2:à Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + + −
= + − +
= + − + + −
= + − + + − + + −
= − + − + − + −
= − + − + −
= −
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ − + −
= − + − + −
V-Phong ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh
B i 1: à Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= − + − +
= + + + +
= + + + + +
= − + − +
= − +
Bµi tËp:
VÝ dơ . Ph©n tÝch biĨu thøc sau thµnh nh©n tư :
A = x
3
– 3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lêi gi¶i
§Ỉt S = a + b vµ P = ab, th× a
2
+ b
2
=
2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. V× vËy :
A = x
3
– 3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x – a – b)[x
2
+ (a + b)x – 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x – a – b)[x
2
+ (a + b)x – 2(a
2

7
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư :
a) x
3
+ 4x
2
– 29x + 24 ;
b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1 ;
c) (x
2
– x + 2)
2
+ (x – 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;
i) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
;
k) (x + y + z)
5
– x
5
– y
5
– z
5
.
4. Chuyªn ®Ị
: X¸c ®Þnh ®a thøc
* §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dơng:
1) §Þnh lÝ BªZu:
D trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cđa f(x)
t¹i x = a):
)()()()( afxqaxxf
+−=
(Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p)
HƯ qu¶: NÕu a lµ nghiƯm cđa ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a.
¸p dơng: §Þnh lÝ BªZu cã thĨ dïng ®Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư.
Thùc hiƯn nh sau:
Bíc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thư xem x = a cã ph¶i lµ nghiƯm
cđa f(x) kh«ng.
Bíc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã:
)()()( xpaxxf
−=
§Ĩ t×m p(x) thùc hiƯn phÐp chia f(x) cho x - a.
Bíc 3: TiÕp tơc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tư nÕu cßn ph©n tÝch ®ỵc. Sau
®ã viÕt kÕt qu¶ ci cïng cho hỵp lÝ.
D¹ng 1: T×m ®a thøc th¬ng b»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hƯ sè(ph¬ng ph¸p hƯ sè
bÊt ®Þnh), ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc.
*Ph¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mƯnh ®Ị sau ®©y :
NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tư cïng bËc ë
hai ®a thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng nhau.
VÝ dơ:
32)(
2
−+=
bxaxxP
;
pxxxQ
−−=
4)(
2
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:
a = 1(hƯ sè cđa lòy thõa 2)
2b = - 4 (hƯ sè cđa lòy thõa bËc 1)
- 3 = - p (hƯ sè h¹ng tư bËc kh«ng hay h¹ng tư tù do)
*Ph¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x)
Gäi th¬ng vµ d trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn lỵt lµ M(x) vµ N(x)
Khi ®ã ta cã:
)()().()( xNxMxQxP
+=
(Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× :
α
=
x
(
α
lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph¬ng tr×nh hc hƯ ph¬ng tr×nh ®Ĩ t×m c¸c hƯ
sè cđa c¸c h¹ng tư trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ
chia, sè d).
8
VÝ dơ: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dơng)
Gäi th¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=−−+
.
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:



=
−=
⇒=++−⇒=−++−
3
2
060263
22
a
a
aaaaa
Với a = -2 thì
4104)(,4664
223
+−=+−−=
xxxQxxxA
Với a = 3 thì
69)(,6699
223
−=−−+=
xxQxxxA
*Ph¬ng ph¸p 3:Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc (nh SGK)
Bµi tËp ¸p dơng
B i 1:à Cho đa thức
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + − − ∈
. X¸c định a sao cho A(x)
chia hết cho x + 1.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc
4 3
( ) 2 4P x x x x= − − −
thµnh nh©n tư, biÕt r»ng mét nh©n
tư cã d¹ng:
2
2x dx+ +
Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cđa a vµ b th× ®a thøc :
bxaxx
+++
2
23
chia hÕt cho ®a
thøc:
1
2
++
xx
. H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiỊu c¸ch kh¸c nhau.
Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ĩ ®a thøc:
kxxxxxf
+++−=
234
219)(
chia hÕt cho ®a
thøc:
2)(
2
−−=
xxxg
.
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức:
152)(
23
++=
kkkf
chia hết
cho nhị thức:
3)(
+=
kkg
.
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức:
baxxxxxf
+++−=
234
33)(
chia hết
cho đa thức:
43)(
2
+−=
xxxg
.
Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức:
cbxaxxxP
+++=
24
)(
Chia hết cho
3
)3(
−
x
.
b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức:
2376)(
234
+++−=
xaxxxxQ
chia hết cho đa thức
bxxxM
+−=
2
)(
.
c) Xác định a, b để
axxxxP
+−+=
85)(
23
chia hết cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:
a)
axx
+−
710
2
chia hết cho
32
−
x
.
b)
12
2
++
axx
chia cho
3
−
x
dư 4.
c)
95
45
−+
xax
chia hết cho
1
−
x
.
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a)
baxx
++
24
chia hết cho
1
2
+−
xx
.
b)
505
23
−++
xbxax
chia hết cho
103
2
++
xx
.
c)
1
24
++
bxax
chia hết cho
2
)1(
−
x
.
d)
4
4
+
x
chia hết cho
baxx
++
2
.
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho
baxx
++
3
chia cho
1
+
x
thì dư 7, chia
cho
3
−
x
thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho
cbxax
++
23
chia hết cho
2
+
x
, chia cho
1
2
−
x
thì dư
5
+
x
.
9
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
−−−=−+−
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức:
baxxxxxP
++−+=
234
)(
và
2)(
2
−+=
xxxQ
. Xác định a, b
để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức
1)(
34
++=
bxaxxP
chia hết cho đa
thức
2
)1()(
−=
xxQ
Bài 15: Cho các đa thức
237)(
234
+++−=
xaxxxxP
và
bxxxQ
+−=
2
)(
. Xác
định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chun đề tốn sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc khơng q n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1
điểm
1321
,,,,
+
n
CCCC 
ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP
−−−++−−+−+=

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1321
,,,,
+
n
CCCC 
vào
biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số
n
bbbb ,,,,
210

.
Bµi tËp ¸p dơng
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết:
9)2(,7)1(,25)0(
−===
PPP
.
Giải
Đặt
)1()(
210
−++=
xxbxbbxP
(1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−
−=⇔+=
=
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2519)()1(1825)(
2
+−=⇔−+−=
xxxPxxxxP
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0(
====
PPPP
Hướng dẫn: Đặt
)2)(1()1()(
3210
−−+−++=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho
)3(),2(),1(
−−−
xxx

đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
−−−+−−+−+=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
a) Xác định P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS
∈+++++=

.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP
PPP

Đặt
)2)(1()1()1()1()1()1()(
43210
−−++−++++++=
xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
10

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=⇔−−−−+−−−+−−=
=⇔+=
=⇔=
=⇔=
=
bb
bb
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

)2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=−−++−+++=
xxxxxxxxxxxxxP
(Tuyển chọn bài thi HSG Tốn THCS)
Bài 5: cho đa thức
)0,,(,)(
2
≠++=
cbacbxaxxP
. Cho biết
0632
=++
cba
1) Tính a, b, c theo
)1(,
2
1
),0( PPP






.
2) Chứng minh rằng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khơng thể cùng âm hoặc cùng
dương.
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
5. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi ph©n thøc h÷u tØ
VÝ dơ 1.
a) Chøng minh r»ng ph©n sè
3n 1
5n 2
+
+
lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ;
b) Cho ph©n sè
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n
2009 sao cho ph©n sè A cha tèi gi¶n. TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn
®ã.
Lêi gi¶i
a) §Ỉt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d ⇒
d = 1.
VËy ph©n sè
3n 1
5n 2
+
+
lµ ph©n sè tèi gi¶n.
b) Ta cã
29
A n 5
n 5
= - +
+
. §Ĩ A cha tèi gi¶n th× ph©n sè
29
n 5+
ph¶i cha
tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1
cđa 29.
V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29
⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5.
Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009
11
⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69}
VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iỊu kiƯn ®Ị bµi.
Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.
VÝ dơ 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Lêi gi¶i
Ta cã :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
⇔
1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +
⇔
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
⇔
c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔
a b 0
b c 0
c a 0
é
+ =
ê
ê
+ =
ê
ê
+ =
ë
⇔
a b
b c
c a
é
=-
ê
ê
=-
ê
ê
=-
ë
⇒ ®pcm.
Tõ ®ã suy ra :
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +
⇒
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
VÝ dơ 3. §¬n gi¶n biĨu thøc :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ỉ ư ỉ ư ỉ ư
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + + + +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
+ + +
.
Lêi gi¶i
§Ỉt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
– 2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do ®ã :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =


3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta cã : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
12
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
VÝ dơ 4 . Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
sau kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lêi gi¶i
C¸ch 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2

– Bx + C
víi :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta cã :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.
VËy S(x) = 1∀x (®pcm).
C¸ch 2
§Ỉt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vỵt qu¸ 2. Do
®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm.
NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c lµ ba nghiƯm ph©n biƯt cđa P(x).
§iỊu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 ∀x.
Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm.
VÝ dơ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4
4
1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lêi gi¶i
13
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ỉ ư
÷
ç
= + = + - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
;
b)
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ỉ ư ỉ ư
÷ ÷
ç ç
= + = + - + = - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x
ỉ ư
÷
ç
= + = + - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ỉ ưỉ ư
÷ ÷
ç ç
= + + = + + + = +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è øè ø
⇒ D = 7.18 – 3 =
123.
VÝ dơ 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lêi gi¶i
Ta cã :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
§ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta ®ỵc :

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ì ì
+ = =-
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
- = Û =-
í í
ï ï
ï ï
- = =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
. VËy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
6. Chuyªn ®Ị: Gi¶i ph¬ng tr×nh
I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa về dạng (1)
*Cách giải: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng
ax+b=0)
14

Xem chi tiết: Đề thi học sinh giỏi Toán